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福师23秋《实变函数》在线作业二【标准答案】

发布时间:2023-11-09 09:51  作者:奥鹏作业代做

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福师《实变函数》在线作业二-0003

试卷总分:100  得分:100

一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)

1.f∈BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

 

2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

 

3.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.

 

4.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

 

5.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

 

6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.

 

7.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.

 

8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.

 

9.可数集的测度必为零,反之也成立.

 

10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

 

11.三大积分收敛定理包括Levi定理,Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。

 

12.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.

 

13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

 

14.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

 

15.若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).

 

16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

 

17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

 

18.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

 

19.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.

 

20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

 

21.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

 

22.对R^n中任意点集E,E\E'必为可测集.

 

23.若f∈C1[a,b](连续可微),则f∈Lip[a,b],f∈AC[a,b].

 

24.存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.

 

25.f可积的充要条件:|f|可积。

 

26.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

 

27.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.

 

28.若f可测,则|f|可测,反之也成立.

 

29.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.

 

30.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数.

 

31.有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.

 

32.f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].

 

33.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

 

34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

 

35.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。

 

36.若f∈BV,则f有界。

 

37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

 

二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)

38.若f&isin;L(X),则

A.f在X上几乎处处连续

B.存在g&isin;L(X)使得|f|<=g

C.若&int;Xfdu=0,则f=0,a.e.

 

39.开集减去闭集其差集是( )

A.闭集

B.开集

C.非开非闭集

D.既开既闭集

 

40.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A.|A∪C|=|B∪D|

B.|A∩C|=|B∩D|

C.|A\C|=|B\D|

D.当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|

 

41.fn->f,a.e.,则

A.fn依测度收敛于f

B.fn几乎一致收敛于f

C.fn一致收敛于f

D.|fn|->|f|,a.e.

 

42.下列关系式中不成立的是( )

A.f(&cup;Ai)=&cup;f(Ai)

B.f&cap;(Ai)=f(&cap;Ai)

C.(A&cap;B)0=A0&cap;B0

D.(&cup;Ai)c=&cap;(Aic)

 

三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)

43.设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是

A.是L可测函数

B.不是L可测函数

C.有界函数

D.连续函数

 

44.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )

A.f可测

B.|f|可积

C.f^2可积

D.|f|<∞.a.e.

 

45.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )

A.f在R上处处不连续

B.f在R上为可测函数

C.f几乎处处连续

D.f不是可测函数

 

46.若0<=g<=f且f可积,则( )

A.g可积

B.g可测

C.g<∞,a.e.

D.当g可测时g必可积

 

47.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )

A.fn测度收敛于|f|

B.afn+bgn测度收敛于af+bg

C.(fn)^2测度收敛于f^2

D.fngn测度收敛于fg

 

48.A,B是两个集合,则下列正确的是( )

A.f^-1(f(A))=A

B.f^-1(f(A))包含A

C.f(f^-1(A))=A

D.f(A\B)包含f(A)\f(B)

 

49.若f不可测,g可测,则下列正确的是( )

A.f+g不可测

B.fg不可测

C.g^2可测

D.|g|可测

 

50.若f,g是有界变差函数,则( )

A.f+g有界变差函数

B.fg有界变差函数

C.f/g有界变差函数

D.max(f,g)有界变差函数

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